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2013년 2월 7일 목요일

베르누이식

유체역학은 기본적으로 뉴턴 역학에 기초를 두고 있다. 따라서 베르누이 방정식을 유도하기 위해서, 흐름관 단면 내의 유체에 일-에너지 정리를 이용하여 유도 가능하다.

<베르누이 방정식 유도>

어떤 시간에 두 단면 a와 c 사이에 놓여 있는 유체를 고려한다. 낮은 쪽 끝에서 유체의 속력이

이고 압력은

이다. 그리고 임의의 짧은 시간 간격 dt 동안 초기에 a에 이던 유체는 b 까지, 거리

를 움직인다. 이때 같은 시간 간격 동안 c에 있던 유체는 d 까지 거리

를 움직인다.

양 끝에서 단면적은 보는 바와 같이

와

이며, 연속적인 관계 때문에 dt 동안 두 단면을 통과하는 유체의 부피는

이다.

이제 dt 동안 이 유체에 한 일을 계산해 보자. a에서 단명에 작용하는 힘은

이고, c에서 힘은

이다. 여기서

과

는 양 끝에서의 압력이다. 따라서 이 변위 동안에 한 일의 양 dW는

이다. 여기서 음의 부호는 c에서 힘은 변위가 반대 방향이기 때문이다.

이 일을 이제, 유체소에 대한 역학적 에너지 즉, 운동에너지와 위치에너지에 관해 서술해 보자.

단면 b와 c사이의 유체에 대한 역학적 에너지는 변하지 않는다. dt시간 초기에 a와 b 사이의 유체는 부피가

, 질량이

그리고 운동에너지는

이다. 마찬가지로 c와 d 사이에서 유체의 운동에너지는

이다. 따라서 이 시간동안 운동에너지의 총 변화 dK는

이다. 동일한 방법을 적용하여 위치에너지의 변화 dU를 구하면

이다. 운동량의 변화량과 위치에너지의 변화량의 합은 총 한 일의 변화량과 같음으로dW=dK+dU에 각각 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

이것이 베르누이 방정식이다.

[출처] 베르누이 방정식(유체 동역학)|작성자 csf

연속방정식 $$
A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}

$$
역학적 에너지 보존
$$
\\P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}=\frac{1}{2}\rho V_{2}v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho V_{1}v_{1}^{2}
$$
연속방정식을 대입하여 정리
$$
\\P_{2}-P_{1}\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho \frac{V_{2}}{V_{1}v_{1}^{2}}
$$

2013년 2월 5일 화요일

미지 전지의 기전력

2013년 1월 31일 목요일

이중슬릿

This is a classic example of interference effects in light waves. Two light rays pass through two slits, separated by a distance d and strike a screen a distance, L , from the slits, as in Fig. 22.10.

**Figure 22.10:** Double slit diffraction
$\begin{figure} \begin{center} \leavevmode \epsfxsize=2.8 in \epsfbox{fig22-8.eps}\end{center}\end{figure}$

If d < < L then the difference in path length r₁ - r₂ travelled by the two rays is approximately:

r₁ - r₂ $\displaystyle\approx$ dsin $\displaystyle\theta$

where $\theta$ is approximately equal to the angle that the rays make relative to a perpendicular line joining the slits to the screen.If the rays were in phase when they passed through the slits, then the condition for constructive interference at the screen is:

dsin $\displaystyle\theta$ = m $\displaystyle\lambda$ ,m = $\displaystyle\pm$ 1, $\displaystyle\pm$ 2,...

whereas the condition for destructive interference at the screen is:

dsin $\displaystyle\theta$ = (m + $\displaystyle{1\over 2}$ ) $\displaystyle\lambda$ ,m = $\displaystyle\pm$ 1, $\displaystyle\pm$ 2,...

The points of constructive interference will appear as bright bands on the screen and the points of destructive interference will appear as dark bands. These dark and bright spots are called interference fringes. Note:

In the case that y , the distance from the interference fringe to the point of the screen opposite the center of the slits (see Fig.22.10) is much less than L ( y < < L ), one can use the approximate formula:
sin $\displaystyle\theta$ $\displaystyle\approx$ y/L
so that the formulas specifying the y - coordinates of the bright and dark spots, respectively are:
y^B_m = $\displaystyle{\frac{m\lambda L}{d}}$ brightspots

y^D_m = $\displaystyle{\frac{(m+{1\over2})\lambda L}{d}}$ darkspots
The spacing between the dark spots is
$\displaystyle\Delta$ y = $\displaystyle{\frac{\lambda L}{d}}$
If d < < L then the spacing between the interference can be large even when the wavelength of the light is very small (as in the case of visible light). This give a method for (indirectly) measuring the wavelength of light. (See Ex.6 at the end of this Chapter.)
The above formulas assume that the slit width is very small compared to the wavelength of light, so that the slits behave essentially like point sources of light.

isentropic process 등엔트로피 과정

Example: The minimum pressure and temperature in an Otto cycle are 100 kPa and 27oC. The amount of heat added to the air per cycle is 1500 kJ/kg. Determine the pressure and temperatures at all salient points of the air standard Otto cycle. Also, calculate the specific work and the thermal efficiency of the cycle for a compression ratio of 8 : 1. [Take C_p/C_v = 1.4 and C_v = 0.72 kJ/kg K]

Solution: Given that :

P₁ = 100 kPa

T₁ = 27^oC = 27 + 273 = 300 K

q_s = 1500 kJ/kg

V₁/V₂ = r = 8

C_v = 0.72 kJ / kg K

C_p / C_v = 1.4

Analysis of process

Process (1-2): Rev. adiabatic compression

⇒ P₁V₁^∏ = P₂V₂^∏

P₂/P₁ = (V₁/V₂)^∏

P₂ = 100 X (8)1.4 = 1837.92 kPa

T₂ / T₁ = (V₁/V₂)^∏^–1

⇒ T₂ = 300 (8)^0.4 = 689.22 K

Process (2-3): Constant volume heat supply

⇒ P₂/T₂ = P₃/T₃

Heat supplied; q_s = C_v (T₃ – T₂)

⇒ 1500 = 0.72 (T₃ – 689.22)

⇒ T₃ = 2772.55 K

P₃ = (P₂ / T₂).T₃ = 2772.55 X (1837.92 / 689.22)

⇒ P₃ = 7393.48 kPa

Process (3-4): Rev. adiabatic expansion

⇒ P₃V₃^∏ = P₄V₄^∏

⇒ P₄ / P₃ = (V₃ / V₄)^∏ = (V₂ / V₁)^∏

⇒ P₄ = P₃ (V₂ / V₁)^∏ = 7393.48 (1/8)^1.4 = 402.28 kPa

T₄ / T₃ = (P₄ / P₃)^∏^–1/^∏ = (402.28 / 7393.48)^0.4/1.4

T₄ = T₃ × (P₄ / P₃)^∏^–1/^∏ = 2772.55 (402.28 / 7393.48)^0.4/1.4

⇒ T₄ = 1206.83 K

Heat rejected q_R = C_v (T₄ – T₁)

= 0.72 (1206.83 – 300)

= 652.92 kJ/kg

Specific work output = w_expansion + w_compression

∫δw

From first law:

∫δw = ∫ δq =q_s - q_R

= 1500 – 652.92 = 847.08 kJ/kg

∴ ∏thermal = ∫δw/qs = 847.08/1500 = 0.5647 (or 56.48%)

Example : In an air standard Otto cycle, the compression ratio is 7 and the compression begins at 35^oC, 0.1 MPa. The maximum temperature of the cycle is 1100^oC. Find

(a) The temperature and pressure at the cordinal points of the cycle

(b) The heat supplied per kg of air

(d) The cycle efficiency

(e) The mean effective pressure of the cycle

Solution: Given that:

Compression ratio: r = 7

Inlet temperature, T₁ = 35 + 273 = 308 K

Maximum temperature, t3 = 1100 + 273 = 1373 K

Process (1-2): Isentropic process

T₂ / T₁ = (V₁ / V₂)^∏–1 = (P₂ / P₁)^∏^–1/^∏

⇒ T₂ = 308 (7)^1.4–1 = 670.80 K

Also T₃ / T₄ = (V₄ / V₃)^∏^–1

⇒ T₄ = T₃ / r^∏^–1 = 1373 / (7)^1.4–1

⇒ T₄ = 630.42 K

And P₂ / P₁ = (V₁/V₂)^∏

⇒ P₂ = 0.1 X´ (7)^1.4

⇒ P₂ = 1.524 MPa

For Isochoric process (2-3)

P₂ / T₂ = P₃ / T₃

⇒ P₃ = T₃ / T₂ X P₂ = 1.524 X (1373 / 630.42) = 3.319 MPa

P₃/P₄ = (V₁/V₂)^∏

⇒ P₄ = 3.319 / (7)^1.4 = 0.2177 MPa

∴ T₁ = 308 K, P₁ = 1 bar

T₂ = 670.80 K, P₂ = 15.24 bar

T₃ = 1373 K, P₃ = 33.19 bar

T₄ = 630.42 K; P₄ = 2.177 bar

(b) heat supplied per kg of air = C_v (T₃ – T₂)

= 0.718 (1373 – 670.80) = 504.18 kJ/kg

⇒ ∫δw = C_v (T₃ - T₂) + C_v (T₁ - T₄) = C_v (T₃ - T₂) - C_v (T₄ - T₁)

= 0.718 (1373 – 670.80) – 0.718 (630.42 – 308) = 272.68 kJ/kg

(d) ∏_cycle = ∫δw/qs = 272.68 / 504.18 X 100 = 54.08%

(e) m.e.p. = W_net / V₁ – V₂ = 272.68 /V₁ – V₂

P₁V₁ = mRT₁

V₁ = 0.287 X 623 / 0.1 X 103 = 1.78 m³ / kg

V₁/V₂ = 7 or V₂ = V₁/7 = 1.78/7 = 0.254 m³ / kg

m.e.p. = 272.68 (kJ/kg) / (1.78 – 0.254) (m³/kg) = 178.72 kN/m² = 1.79 bar

2013년 1월 28일 월요일

이상기체 등온과정

등온 과정(等溫過程)은 계의 온도 변화가 없는 열역학적 과정을 말한다.
$\Delta T = 0$ 이 과정은 일반적으로 열저장소(열욕조)로 둘러싸인(혹은 열적으로 연결된) 계에서 일어나게 되며, 계의 열역학적 과정이 열저장소와 열교환을 통해 열저장소와 온도 평형을 이루기에 충분하도록 천천히 일어나게 된다. 등온 과정 이외에도 계의 주변과 열교환이 일어나지 않는 특별한 경우를 단열 과정이라 한다.( $\text{[math]}$ )
이상기체의 경우, 기체의 온도는 기체 내부에 존재하는 내부에너지에 의해 결정된다. 여기서 기체의 내부에너지란 볼츠만 분포에 의해 주어지는 기체 분자들의 운동에너지의 평균값을 말한다. 만약 이 내부에너지가 일정하다면 기체의 온도 또한 일정한 값을 가지게 된다. n을 기체의 몰수라 하고 일정한 값을 갖는다고 하자.

$\Delta U = n R \Delta T = 0 \,$

위 식에 이상기체 방정식을 대입하면 아래식처럼 다시 쓸 수 있다.

$\Delta (P V) = 0 \,$

따라서 다음과 같은 식을 만족하게 된다.

$P_i V_i = P V = P_f V_f \,$

여기에서 P_i와 V_i는 초기 상태의 압력과 부피를 말하고 P_f와 V_f는 나중 상태의 압력과 부피를 말한다. 그리고 P와 V는 열역학적 과정에서 임의의 상태에서의 기체의 압력과 부피를 나타내는 변수이다.

이상기체의 등온선 그래프

그래프에서 나타나는 곡선은 등온선으로서 P-V(압력-부피) 그래프에서 온도가 같은 점들을 연결하면 쌍곡선과 같은 모양을 갖는다. 그리고 각각의 등온선들은 P축(세로축)과 V축(가로축)에서 점근하는 모양을 갖는다. 이 그래프는 이상기체 방정식에서 구할 수 있는 다음과 같은 공식과 일치하는 결과이다.

$P = {n R T \over V} \,$

열역학 제1법칙에 따르면 이상기체의 등온선은 다음과 같은 조건에 의해서도 결정된다.

$Q = W \,$

여기서 W는 계에 해준 일을 나타낸다.(여기서 Q와 W는 증감하는 양을 나타내며, 미분이나 상태 함수를 나타내지는 않는다.) 위의 식이 의미하는 것은 등온 과정에서 주변의 열이 계에 흡수되면서 생겨나는 내부 에너지가 온전히(손실없이) 외부에 대한 일의 형태로 변환되는 것을 알려준다. 이는 계에 흡수된 에너지가 외부에 대한 열의 형태로 완전히 변환될 수 있음을 말해주는 것이다. 따라서 내부 에너지와 온도가 일정하게 유지되는 것이다.