방사성 붕괴의 속도
불안정한 원자핵의 붕괴는 완전히 무작위적이고 특정한 원자가 언제 붕괴할지를 예측하는 것은 불가능하다.
[1] 그러나 그것은 언제나 동등한 비율로 붕괴한다는 것과 같다. 따라서 특정한 방사성동위원소의 시료가 주어진다면, 짧은 시간 간격
dt 동안 일어나는 붕괴 반응의 수
dN은 현재의 원자의 수에 비례한다.
N을 원자의 수라고 한다면, 붕괴의 확률(-
dN/
N)은
dt에 비례한다.
방사성 핵종은 서로 다른 속도로 붕괴하며, 각각 자신만의 붕괴 상수(
λ)를 가지고 있다. 음의 부호는
N이 붕괴 반응에서 줄어드는 것을 나타낸다. 이 일차
미분 방정식의 해는 다음의
함수로 주어진다.
여기서
N0은 초기(
t = 0)의
N이다. 두 번째 방정식은
붕괴 상수 λ가 1/시간의 차원(단위)을 가지는 것을 알려주고, 따라서 1/
τ로 표현할 수도 있다. 여기서
τ는 반응을 특징짓는 시간이다. 이 특징적인 시간은 그 반응의
시정수라고 불린다. 방사성 붕괴에서, 반응의 시정수는 붕괴하는 원자의
평균 수명이기도 하다. 각 원자는 붕괴할 때까지 유한한 시간동안 살아있고, 평균 수명은 모든 원자의 수명의
산술 평균이 된다. 그리고
τ는 다음과 같은 붕괴 상수와의 관계를 가진다.
방사성 붕괴를 하는 다수의 원자들의 시뮬레이션. 4개의 원자(왼쪽) 또는 400개의 원자(오른쪽)로 시작한다. 위에 있는 숫자는
반감기가 몇 번 지났는지를 표시해준다. 원자가 더 많으면, 전체적인 붕괴는 덜 무작위적인 점에서
큰 수의 법칙을 발견할 수 있다.
앞의 지수 함수가 일반적으로
지수적 감쇠의 결과를 나타낸다. 그러나 두 가지 이유에서, 그 것은 근사해일 뿐이다. 첫째로,
지수 함수는
연속적이지만, 물리량
N은 음이 아닌
정수다. 두 번째로,
무작위적 과정(random process)을 표현하는 것이기 때문에, 함수는 통계적 참일 뿐이다. 그러나 대부분의 경우,
N은 극히 큰 수(
아보가드로의 수에 상응하는 수준의 수)이고, 지수 함수는 훌륭한 근사이다.
반감기
이 부분의 본문은 반감기입니다.
더욱 널리 쓰이는 값은
반감기다. 특정 방사성 핵종의 샘플에서, 반감기는 그 방사성 원자핵의 절반이 붕괴하는데 걸리는 시간이다. 반감기는 붕괴 상수와 다음과 같은 관계를 갖는다.
반감기와 붕괴 상수의 이러한 관계는 저준위 방사성 물질은 더 오래 남는 반면에 고준위 방사성 물질은 빨리 없어진다는 것을 보여준다. 알려진 방사성 핵종의 반감기는
1019 년(
209Bi와 같이 거의 안정한 핵종)부터 10
−23초까지 매우 다양하다. 위 관계식의
ln2라는 인자는, 반감기라는 개념이 단순히 입자 수명 관계식에서 자연 지수
e 대신에 다른 밑수를 선택하는 방법이기 때문에 나온 것이다. 시정수
τ는 수명의 "1/2"배(방사성 핵종의 50%가 남아있는 시간)가 아니라 수명의 "1/e"배(방사성 핵종의 1/e = 약 36.8%가 남아있는 시간)이다. 따라서 다음의 방정식이 유효함을 쉽게 보일 수 있다.
방사성 붕괴가 일정한 확률을 가지는 지수적 현상이기 때문에, 각각의 반응이 또 다른 시간 간격을 통해서 표현될 수 있다.
예를 들면 "1/3 수명"(1/3이 남을 때까지 걸리는 시간)이나 "1/10 수명"(1/10이 남을 때까지 걸리는 시간) 등등으로
표현될 수 있다. 따라서
τ과
t½을 표지가 되는 시간으로 선택한 것은 단순히 편의를 위해서이고, 관습에 따르는 것이다. 그러한 상수들은 주어진 방사성 물질의
일정한 비율이 붕괴한다는 기본적인 원칙을 반영할 따름이다.
Transmission coefficient.
A particle moving along the
x-axis, with mass
m and energy
E, approaches
from the left a potential barrier with energy
U >
E. According to
quantum mechanics, the probability that the particle penetrates the potential barrier
(blue line in the draw) is not null. The transmission coefficient
T is the probability
that the particle reaches the point
a , thus passing the potential barrier and
penetrating into the region on the right.
Let φ (
x) =
e-x k a solution of the first
Schrödinger equation applied to the particle inside the potential barrier, where
.
A rough approximation for the transmission coefficient is given by the quotient of
φ (
a) by φ (0). This quotient is
e-a k ;
the square of its module gives the probability that the particle passes the potential barrier.
This probability is, by definition, the transmission coefficient.
Thus
T = | φ (
a) / φ (0) |
2 =
|
e - a k |
2 =
e - 2 a k .
