Villa Opera Lamartine

방사성 붕괴의 속도

불안정한 원자핵의 붕괴는 완전히 무작위적이고 특정한 원자가 언제 붕괴할지를 예측하는 것은 불가능하다.^[1] 그러나 그것은 언제나 동등한 비율로 붕괴한다는 것과 같다. 따라서 특정한 방사성동위원소의 시료가 주어진다면, 짧은 시간 간격 dt 동안 일어나는 붕괴 반응의 수 dN은 현재의 원자의 수에 비례한다. N을 원자의 수라고 한다면, 붕괴의 확률(-dN/N)은 dt에 비례한다.

$\left(-\frac{dN}{N} \right) = \lambda \cdot dt.$

방사성 핵종은 서로 다른 속도로 붕괴하며, 각각 자신만의 붕괴 상수(λ)를 가지고 있다. 음의 부호는 N이 붕괴 반응에서 줄어드는 것을 나타낸다. 이 일차 미분 방정식의 해는 다음의 함수로 주어진다.

$N(t) = N_0\,e^{-{\lambda}t} = N_0\,e^{-t/ \tau}. \,\!$

여기서 N₀은 초기(t = 0)의 N이다. 두 번째 방정식은 붕괴 상수 λ가 1/시간의 차원(단위)을 가지는 것을 알려주고, 따라서 1/τ로 표현할 수도 있다. 여기서 τ는 반응을 특징짓는 시간이다. 이 특징적인 시간은 그 반응의 시정수라고 불린다. 방사성 붕괴에서, 반응의 시정수는 붕괴하는 원자의 평균 수명이기도 하다. 각 원자는 붕괴할 때까지 유한한 시간동안 살아있고, 평균 수명은 모든 원자의 수명의 산술 평균이 된다. 그리고 τ는 다음과 같은 붕괴 상수와의 관계를 가진다.

$\tau = \frac{1}{\lambda}.$

방사성 붕괴를 하는 다수의 원자들의 시뮬레이션. 4개의 원자(왼쪽) 또는 400개의 원자(오른쪽)로 시작한다. 위에 있는 숫자는 반감기가 몇 번 지났는지를 표시해준다. 원자가 더 많으면, 전체적인 붕괴는 덜 무작위적인 점에서 큰 수의 법칙을 발견할 수 있다.

앞의 지수 함수가 일반적으로 지수적 감쇠의 결과를 나타낸다. 그러나 두 가지 이유에서, 그 것은 근사해일 뿐이다. 첫째로, 지수 함수는 연속적이지만, 물리량 N은 음이 아닌 정수다. 두 번째로, 무작위적 과정(random process)을 표현하는 것이기 때문에, 함수는 통계적 참일 뿐이다. 그러나 대부분의 경우, N은 극히 큰 수(아보가드로의 수에 상응하는 수준의 수)이고, 지수 함수는 훌륭한 근사이다.

반감기

이 부분의 본문은 반감기입니다.

더욱 널리 쓰이는 값은 반감기다. 특정 방사성 핵종의 샘플에서, 반감기는 그 방사성 원자핵의 절반이 붕괴하는데 걸리는 시간이다. 반감기는 붕괴 상수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau \ln 2.$

반감기와 붕괴 상수의 이러한 관계는 저준위 방사성 물질은 더 오래 남는 반면에 고준위 방사성 물질은 빨리 없어진다는 것을 보여준다. 알려진 방사성 핵종의 반감기는 10¹⁹ 년(²⁰⁹Bi와 같이 거의 안정한 핵종)부터 10⁻²³초까지 매우 다양하다. 위 관계식의 ln2라는 인자는, 반감기라는 개념이 단순히 입자 수명 관계식에서 자연 지수 e 대신에 다른 밑수를 선택하는 방법이기 때문에 나온 것이다. 시정수 τ는 수명의 "1/2"배(방사성 핵종의 50%가 남아있는 시간)가 아니라 수명의 "1/e"배(방사성 핵종의 1/e = 약 36.8%가 남아있는 시간)이다. 따라서 다음의 방정식이 유효함을 쉽게 보일 수 있다.

$N(t) = N_0\,e^{-t/ \tau} =N_0\,2^{-t/t_{1/2}}. \,\!$

방사성 붕괴가 일정한 확률을 가지는 지수적 현상이기 때문에, 각각의 반응이 또 다른 시간 간격을 통해서 표현될 수 있다. 예를 들면 "1/3 수명"(1/3이 남을 때까지 걸리는 시간)이나 "1/10 수명"(1/10이 남을 때까지 걸리는 시간) 등등으로 표현될 수 있다. 따라서 τ과 t_½을 표지가 되는 시간으로 선택한 것은 단순히 편의를 위해서이고, 관습에 따르는 것이다. 그러한 상수들은 주어진 방사성 물질의 일정한 비율이 붕괴한다는 기본적인 원칙을 반영할 따름이다.

Transmission coefficient.

A particle moving along the x-axis, with mass m and energy E, approaches from the left a potential barrier with energy U > E. According to quantum mechanics, the probability that the particle penetrates the potential barrier (blue line in the draw) is not null. The transmission coefficient T is the probability that the particle reaches the point a , thus passing the potential barrier and penetrating into the region on the right.

Let φ (x) = e^-x k a solution of the first Schrödinger equation applied to the particle inside the potential barrier, where Expression for k

. A rough approximation for the transmission coefficient is given by the quotient of φ (a) by φ (0). This quotient is e^-a k ; the square of its module gives the probability that the particle passes the potential barrier. This probability is, by definition, the transmission coefficient. Thus T = | φ (a) / φ (0) | ² = | e^- a k |² = e^- 2 a k .